Question

2．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=4交x轴于点A，B（点A在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．
（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；
（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：
①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；
②记MA，NA的斜率分别为k₁，k₂，试探究k₁k₂是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出直线AM的方程，求出$P（4，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，$Q（4，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，然后求解P，Q两点纵坐标的乘积；
（2）通过$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}=9+\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}•\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=-3$，判断点C在圆内，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），当直线MN的斜率不存在时，$M（1，\sqrt{3}）$，$N（1，-\sqrt{3}）$，求出直线的斜率，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x-1），代入圆方程x²+y²=4，利用韦达定理化简求解k₁k₂的值．

解答 解：（1）由题意，解得A（-2，0），B（2，0），设M（x₀，y₀），∴直线AM的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，令x=4，则$y=\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}$，∴$P（4，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，同理$Q（4，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，∴${y_P}{y_Q}=\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}•\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=\frac{{12{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=-12$…（5分）
（2）①∵C（1，0），由（1）知$\overrightarrow{CP}=（3，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，$\overrightarrow{CQ}=（3，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}=9+\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}•\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=-3$，即$∠PCQ＞\frac{π}{2}$，
∴点C在圆内…（10分）
②设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），当直线MN的斜率不存在时，$M（1，\sqrt{3}）$，$N（1，-\sqrt{3}）$，此时${k_1}{k_2}=-\frac{1}{3}$；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x-1），
代入圆方程x²+y²=4，整理得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}$，又${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}+2）（{x_2}+2）}}=\frac{{{k^2}（{x_1}{x_2}-{x_1}-{x_2}+1）}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}$，
∴${k_1}{k_2}={k^2}\frac{{\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}-\frac{{2{k^2}}}{{1+{k^2}}}+1}}{{\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}+\frac{{4{k^2}}}{{1+{k^2}}}+4}}=-\frac{1}{3}$…（16分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．