Question

19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）证明：f（x）=x²不属于集合M；
（2）设f（x）∈M，且T=2．已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用反证法，假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）²=Tx²对任意的x恒成立，推出T无解，即假设不成立，肯定结论．
（2）将-3＜x＜-2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式

解答 （1）证明：假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）²=Tx²对任意的x恒成立，
即（1-T）x²+2Tx+T²=0对任意的x恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-T=0}\\{2T=0}\\{{T}^{2}=0}\end{array}\right.$．
∴T∈∅．
假设错误，所以f（x）=x²不属于集合M．
（2）∵-3＜x＜-2，
∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
∴令T=2，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]，
∴当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式是f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]．

点评 本题考查了抽象函数及其应用，反证法，函数解析式的求解及常用方法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．属于中档题