Question

9．如果实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x≤0}\\{x+y+1≥0}\end{array}\right.$，那么3^x（$\frac{1}{9}$）^y的最大值为9．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，结合指数幂的运算法则，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：3^x（$\frac{1}{9}$）^y=3^x-2y，
设z=x-2y，解：由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点A时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即A（0，-1）．
代入目标函数z=x-2y，
得z=2，
∴函数z=x-2y的最大值是2．
则3^x（$\frac{1}{9}$）^y的最大值为3²=9，
故答案为：9．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．