Question

17．已知λ（x）=ax³+x²-ax（a≠0），若存在实数a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，使得函数μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈[-1，b]在x=-1处取得最小值，则实数b的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由μ（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知μ（x）≥μ（-1）在区间[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．

解答 解：由题意，λ（x）=ax³+x²-ax的导数λ′（x）=3ax²+2x-a，
μ（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
据题知，μ（x）≥μ（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
由a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]知其图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又ϕ（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{15}{4}$a＞0，故不等式②成立的充要条件是ϕ（b）≥0，
整理得：$\frac{{b}^{2}+2b-3}{b+1}$≤-$\frac{1}{a}$在a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]上有解，
∴$\frac{{b}^{2}+2b-3}{b+1}$≤2，
解得-1＜b≤$\sqrt{5}$．
b的最大值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．