Question

20．已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
求：（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（2）判断（1）中直线l与圆C的位置关系，若相交，求出相交弦的长；
（3）设过点P的直线l₁ 与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线l的方程，利用直线l过点P且与圆心C的距离为1，建立方程，求出k，即可求直线l的方程；
（2）求出$|{CP}|=\sqrt{5}$，可得相交弦的长；
（3）确定P恰为MN的中点，即可求以线段MN为直径的圆Q的方程．

解答 解：（1）设直线l的斜率为k（k存在），
则方程为y-0=k（x-2）．即kx-y-2k=0
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由  $\frac{{|{3k+2-2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{3}{4}$．所以直线方程为$y=-\frac{3}{4}（x-2）$，
即 3x+4y-6=0．…（2分）
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件．…（3分）
（2）由题意，P在圆内，直线l与圆C相交，因为$|{CP}|=\sqrt{5}$，所以相交弦的长为2$\sqrt{9-5}$=4；．…（5分）
（3）由于$|{CP}|=\sqrt{5}$，而弦心距$d=\sqrt{{r^2}-{{（\frac{{|{MN}|}}{2}）}^2}}=\sqrt{5}$，所以d=$|{CP}|=\sqrt{5}$．
所以P恰为MN的中点．
故以MN为直径的圆Q的方程为（x-2）²+y²=4．．…（8分）

点评 本题中考查了直线与圆相交的位置关系、弦长公式、勾股定理、圆的标准方程、中点坐标公式、分类讨论等多个基础知识与基本技能方法，属于中档题．