Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），直线y=-1与f（x）的图象上相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值和函数f（x）的解析式；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，由题意可得：$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}×$$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，从而解得ω的值，可求函数解析式．
（2）由f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，结合范围0＜C＜π，可求范围-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，可得C=$\frac{π}{3}$．由正弦定理可得：b=2a，利用余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
∴由于直线y=-1与f（x）的图象上相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，可得：$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}×$$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得：ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
（2）∵f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，可得：-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，故可得解得：2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：3=a²+4a²-2a×$2a×cos\frac{π}{3}$，
∴解得：a=1，b=2．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理等知识的应用，由三角函数值求角时要注意分析角的范围，属于中档题．