Question

3．等比数列{a_n}的首项为a₁=2015，公比$q=-\frac{1}{2}$．设f（n）表示该数列的前n项的积，则当n=12时，f（n）有最大值．

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式和题意求出f（n），再与f（n-1）作商化简后，判断出|$\frac{f（n）}{f（n-1）}$|与1的关系，可得到|f（n）|单调性和f（n）取最大值时n的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}的首项为a₁=2015，公比$q=-\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₁q^n-1=$2015•{（-\frac{1}{2}）}^{n-1}$，
∴当n为奇数时a_n＞0，当n为偶数时，a_n＜0，
∵当n≥2时，$\frac{f（n）}{f（n-1）}$=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{n-1}}$=a_n=$2015•{（-1）}^{n-1}{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$，
∴当n≤11时，|$\frac{f（n）}{f（n-1）}$|＞1，此时|f（n）|单调递增，
当n≥12时，|$\frac{f（n）}{f（n-1）}$|＜1，此时|f（n）|单调递减，
∵当n=12时，f（11）＞0，当n=12时，f（12）＜0，
∴当n=12时，f（n）有最大值是${2015^{12}}×{（\frac{1}{2}）^{66}}$．
故答案为：12．

点评 本题考查等比数列的通项公式，利用作商法判断单调性是解题的关键，综合性较强，难度较大，属于中档题．