Question

18．函数f（x）满足x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＞tanx•f（x），则下列式子中正确的序号是④
①2f（0）＞f（$\frac{π}{3}$）；②f（-$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$）；③$\frac{\sqrt{3}}{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）；④2f（-1）＜$\frac{1}{cos1}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 由题意得到f′（x）cosx＞f（x）sinx，构造函数g（x）=f（x）cosx，判断函数g（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，逐一验证即可．

解答 解：∵f′（x）＞tanx•f（x），
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜cosx≤1
∴f′（x）cosx＞f（x）sinx，
构造函数g（x）=f（x）cosx，
∴g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＞0在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）恒成立，
∴函数g（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∵0＜$\frac{π}{3}$，
∴g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴f（0）cos0＜f（$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$，
∴2f（0）＜f（$\frac{π}{3}$）；故①错误，
∵-$\frac{π}{3}$＜-$\frac{π}{4}$，
∴f（-$\frac{π}{3}$）cos（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）cos（-$\frac{π}{4}$），
∴f（-$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），故②错误，
∵$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{4}$，
∴f（$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$f（$\frac{π}{4}$），故③错误，
∵-1＜$\frac{π}{3}$，
∴g（-1）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴f（-1）cos（-1）＜f（$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$，
∴2f（-1）＜$\frac{1}{cos1}$f（$\frac{π}{3}$）故④正确，
故答案为：④

点评 本题考查了函数的单调性和导数的关系，关键是构造函数，属于中档题．