Question

8．已知数列{a_n}中，a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（2）若{a_n}为等差数列，求{a_n}的通项公式；
（3）{a_n}能否为等比数列？若是，求其通项公式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，计算即可得到所求值；
（2）设a_n=kn+t，由a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．可得kn+t=2（kn-k+t）+n，由恒等知识，可得k=-1，t=-2，进而得到通项公式；
（3）假设{a_n}为等比数列，设a_n=kqⁿ，代入条件，运用恒等知识，即可判断．

解答 解：（1）a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
若a₁=1，则a₂=2a₁+2=4，
a₃=2a₂+3=8+3=11，
a₄=2a₃+4=22+4=26；
（2）若{a_n}为等差数列，设a_n=kn+t，
由a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
可得kn+t=2（kn-k+t）+n，
即有k=2k+1，t=2（t-k），
解得k=-1，t=-2，
则a_n=-n-2；
（3）假设{a_n}为等比数列，设a_n=kqⁿ，
由a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
可得kqⁿ=2kq^n-1+n，
若q=1，则k=-n，不恒成立；
若q≠1，则等式不恒成立．
故{a_n}不能为等比数列．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．