Question

18．某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm²，每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．
（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；
（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？

Answer 1

分析 （1）设宽为$\frac{1800}{x}$cm，从而化简S=（2x+90）（$\frac{1800}{x}$+40）=80x+$\frac{90×1800}{x}$+7200，从而由基本不等式求解即可；
（2）由题意可知$\frac{1800}{x}$≤x-14，从而可得50≤x≤60，可判断函数S=（2x+90）（$\frac{1800}{x}$+40）在[50，60]上单调递增，从而求最值．

解答 解：（1）由题意，宽为$\frac{1800}{x}$cm，
S=（2x+90）（$\frac{1800}{x}$+40）=80x+$\frac{90×1800}{x}$+7200
≥2$\sqrt{80x×\frac{90×1800}{x}}$+7200=14400．
（当且仅当80x=$\frac{90×1800}{x}$，即x=45时，等号成立）；
∵$\left\{\begin{array}{l}{x≥30}\\{\frac{1800}{x}≥30}\end{array}\right.$，
∴30≤x≤60，
∴当x=45时，操作台面面积最小；此时操作台面长与宽分别为180cm，80cm．
（2）由题意，$\frac{1800}{x}$≤x-14，
解得，x≥50；
∴50≤x≤60，
∵函数S=（2x+90）（$\frac{1800}{x}$+40）在[50，60]上单调递增，
∴当x=50时，操作台面面积最小，最小值为14440cm²，
此时，操作台面长为190cm，宽为76cm．

点评 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用，属于中档题．