Question

13．在数列{a_n}中，a₁=2，a₆=64，a_na_n+2=a_n+1²（n∈N^*），把数列的各项按如下方法进行分组：（a₁），（a₂，a₃，a₄），（a₅，a₆，a₇，a₈，a₉），…，记A（m，n）为第m组的第n个数（从前到后），则当m≥3时，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）的值为${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 根据条件判断数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：∵a₁=2，a₆=32，a_na_n+2=a_n+1²，
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列
∴a_n=2ⁿ，
则第m-1组的最后一个数为${a}_{{（m-1）}^{2}}$=${2}^{（m-1）^{2}}$，
则第m组的第一个数${a}_{（m-1）^{2}+1}$=${2}^{（m-1）^{2}+1}$，
则当m≥3时，A（m，1），A（m，2），…A（m，n）构成以${a}_{（m-1）^{2}+1}$=${2}^{（m-1）^{2}+1}$为首项，公比q=2的等比数列，
则当m≥3时，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）
=${2}^{（m-1）^{2}+1}$$•\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=${2}^{（m-1）^{2}}$•2×（2ⁿ-1）
=${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）．
故答案为：${2}^{（m-1）^{2}}$•（2ⁿ⁺¹-2）．

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用，根据条件判断数列是等比数列以及利用等比数列的前n项和公式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．