Question

10．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展开式中第5项是常数项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有有理项．

Answer 1

分析 （1）在二项展开式的通项公式中，令r=4且x的幂指数等于零，即可求出n的值．
（2）在通项公式中，令x的幂指数$\frac{12-3r}{4}$为整数，可得r的值，从而得到展开式中所有有理项．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，再根据第5项是常数项，可得$\frac{2×n-3×4}{4}$=0，
求得n=6．
（2）在通项公式中，令x的幂指数$\frac{12-3r}{4}$为整数，可得r=0，4，
故有理项为T₁=x³，T₅=$\frac{15}{16}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．