Question

4．抛物线y²=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k₁，k₂，则$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设AF的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k₂，即可求出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴AF的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1）
设k₀=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，则AF：y=k₀（x-1），
与抛物线方程联立，可得k₀²x²-（2k₀²+4）x+k₀²=0，
利用韦达定理x₃x₁=1
∴x₃=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴y₃=k₀（x₃-1）=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$
即C（$\frac{1}{{x}_{1}}$，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$）
同理D（$\frac{1}{{x}_{2}}$，-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）
∴k₂=$\frac{\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}$=2k₁，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．