Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{b}$=（-1，2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量的数量积求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；
（2）表示出向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，利用两者平行的充要条件，露垂芳草，即可求λ的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{b}$=（-1，2）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4+6=2，$\left|\overrightarrow{a}\right|$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，$\left|\overrightarrow{b}\right|$=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$…（3分）
∴cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}$=$\frac{2}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．…（6分）
（2）∵向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{b}$=（-1，2）．向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$=（4+λ，3-2λ），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（7，8）…（8分）
∵向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，
∴$\frac{4+λ}{7}=\frac{3-2λ}{8}$，…（10分）
解得：λ=$-\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查平面向量数量积的应用，向量共线以及向量的夹角的求法，考查计算能力．