Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值；
（3）设a＞1，b＞0，求证：$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}{b}＜\frac{a}{b}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f′（x）=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，运用参数分离，求得最值即可；
（2）求得g（x）的导数，求得单调性，即可得到最小值；
（3）由（1）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，所以f（$\frac{a+b}{b}$）＞f（1），由第（2）问可知g（$\frac{a}{b}$）=ln（1+$\frac{a}{b}$）-$\frac{a}{b}$＜g（0）=0，化简即可得证．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
因为函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
所以f′（x）=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即x≥$\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，
所以只需1≥$\frac{1}{a}$，
又因为a＞0，所以a≥1；
（2）因为x∈[0，+∞），所以g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$≤0
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，
所以g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值为g（0）=0．
（3）证明：因为a＞1，b＞0，所以$\frac{a+b}{b}$＞1，
由（1）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，所以f（$\frac{a+b}{b}$）＞f（1），
即$\frac{1-\frac{a+b}{b}}{a•\frac{a+b}{b}}$+ln$\frac{a+b}{b}$＞0，化简得$\frac{1}{a+b}$＜ln$\frac{a+b}{b}$，
又因为$\frac{a+b}{b}$=1+$\frac{a}{b}$，
由第（2）问可知g（$\frac{a}{b}$）=ln（1+$\frac{a}{b}$）-$\frac{a}{b}$＜g（0）=0，
即ln$\frac{a+b}{b}$＜$\frac{a}{b}$，
综上$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}{b}＜\frac{a}{b}$得证．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，同时考查不等式的恒成立问题和不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．