Question

4．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{24}）$的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-a=0在区间$（0，\;\frac{π}{2}）$内有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂），分别求实数a与$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入x=$\frac{π}{24}$即可．
（Ⅱ）根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m的范围．
（Ⅲ）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a的范围，根据函数的对称，求得x₁+x₂的值，进而表示出$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∴$f（\frac{π}{24}）=2sin（\frac{π}{12}+\frac{π}{6}）+1=2sin\frac{π}{4}+1=\sqrt{2}+1$
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，\;\;k∈Z$
得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，\;\;k∈Z$
∴f（x）在区间$[{kπ-\frac{π}{3}，\;\;kπ+\frac{π}{6}}]（k∈Z）$上是增函数
∴当k=0时，f（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\;\;\frac{π}{6}}]$上是增函数
若函数f（x）在区间[-m，m]上是单调递增函数，则$[-m，m]⊆[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{π}{6}\\-m≥-\frac{π}{3}\\ m＞0\end{array}\right.$，解得$0＜m≤\frac{π}{6}$
∴m的最大值是$\frac{π}{6}$
（Ⅲ）方程f（x）-a=0在区间$（0，\frac{π}{2}）$内有两实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）等价于
直线y=a与曲线$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$（$0＜x＜\frac{π}{2}$）有两个交点．
∵当$0＜x＜\frac{π}{2}$时，由（Ⅱ）知$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$在$（{0，\;\;\frac{π}{6}}]$上是增函数，在$[{\frac{π}{6}，\;\;\frac{π}{2}\;}）$上是减函数，
且$f（0）=2，\;\;f（\frac{π}{6}）=3，\;\;f（\frac{π}{2}）=0$，
∴2＜a＜3
即实数a的取值范围是（2，3）
∵函数f（x）的图象关于$x=\frac{π}{6}$对称
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}$．
∵x₁＜x₂，
∴$0＜{x_1}＜\frac{π}{6}$．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{{\frac{π}{3}}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{{\frac{π}{3}}}{{{x_1}•（\frac{π}{3}-{x_1}）}}=\frac{{\frac{π}{3}}}{{-{x_1}^2+\frac{π}{3}{x_1}}}$．
∵函数$y=-{x^2}+\frac{π}{3}x$在$（0，\;\;\frac{π}{6}）$内递增
∴$-{x_1}^2+\frac{π}{3}{x_1}∈（0，\;\;\frac{π^2}{36}）$
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}∈（\frac{12}{π}，\;\;+∞）$
的取值范围为$（\frac{12}{π}，\;\;+∞）$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生推理能力的考查．