Question

16．若圆心在x轴上的圆C同时经过椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F，上顶点B和右顶点A，则椭圆Γ的离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 求出圆的圆心与椭圆的上顶点的距离等于圆的半径，然后求出椭圆的离心率即可．

解答 解：由题意可知圆的圆心坐标为（$\frac{a-c}{2}$，0），椭圆的上顶点（0，b），
所以（$\frac{a-c}{2}$）²+b²=（$\frac{a+c}{2}$）²，
即b²=ac，又b²=a²-c²，所以a²-c²-ac=0，即e²+e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的基本性质的应用，椭圆的离心率的求法，圆与椭圆的位置关系，考查计算能力．