Question

3．已知圆H过点B（1，0）和点C（3，2），且圆心H在直线x+2y-6=0上．
（1）若直线1过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线1的方程；
（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆心H（a，b），由圆H过点B（1，0）和点C（3，2），且圆心H在直线x+2y-6=0上，列出方程组，求出圆心坐标，从而求出圆半径，进而求出圆的方程，再利用待定系数法求出直线方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论．
（2）设出点P，N的坐标，要把点M的坐标用其表示，把M，N的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有角考考查半径的取值范围，但要注意P，N，M三点不能重合，即圆和线段BH无公共点．

解答 解：（1）设圆心H（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a-1）^{2}+（b-0）^{2}}=\sqrt{（a-3）^{2}+（b-2）^{2}}}\\{a+2b-6=0}\end{array}\right.$，
解得a=0，b=3，∴H（0，3），
∴r=|HB|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴圆H的方程为x²+（y-3）²=10，
设圆心H（0，3）到直线l的距离为d，
∵直线1过点C，且被圆H截得的弦长为2，
∴d=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-1}$=3，
当直线l垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k（x-3），
则$\frac{|3k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直线l的方程为y-2=$\frac{4}{3}（x-3）$，即4x-3y-6=0．
综上：直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0．
（2）直线BH的方程为3x+y-3=0，设P（m，n），（0≤m≤1），N（x，y），
∵点M是点P，N的中占，∴M（$\frac{m+x}{2}，\frac{n+y}{2}$），
又M，N都在半径为r的圆C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（\frac{m+x}{2}-3）^{2}+（\frac{n+y}{2}-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（x+m-6）^{2}+（y+n-4）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$，
∵该关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
∴（2r-r）²≤（3-6+m）²+（2-4+n）²≤（r+2r）²，
又3m+n-3=0，∴r²≤10m²-12m+10≤9r²对?m∈[0，1]成立，
∵f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域为[$\frac{32}{5}$，10]，
∴${r}^{2}≤\frac{32}{5}$且10≤9r²．
又线段BH与圆C无公共点，
∴（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²对?m∈[0，1]成立，即r²＜$\frac{32}{5}$，
∴圆C的半径的取值范围是[$\frac{\sqrt{10}}{3}$，$\frac{4\sqrt{10}}{5}$]．

点评 本题主要考查直线的求法，考查圆的半径的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．