Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是棱CC₁的中点．
（1）求证：AC₁∥平面BDM
（2）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）设底面ABCD的中心为O，连结OM，则OM∥AC₁，故而AC₁∥平面BDM；
（2）由AA₁⊥平面ABCD得AA₁⊥BD，结合AC⊥BD可得BD⊥平面ACC₁A₁，故而平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

解答 （1）证明：设AC∩BD=O，连结OM，
则OM是△ACC₁的中位线，
∴OM∥AC₁，
又OM?平面BDM，AC₁?平面BDM，
∴AC₁∥平面BDM．
（2）∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
又BD?平面A₁BD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．