Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1+x），x≥0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）对任意的两个实数x₁，x₂，求证：当x₁+x₂＞0时，f（x₁）+f（x₂）＞0；
（3）对任何实数x，f（e^2x-a）+f（3-2e^x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）根据题意有两种情形：①若x₁＞0，x₂≥0，②若x₁≥0，x₂＜0，求出f（x₁）+f（x₂）的表达式，根据对数函数的性质证明即可；
（3）根据函数的单调性问题转化为a≤（e^2x-2e^x+3）_min，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）任取x＞0，则-x＜0，
f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）=-log₂（1+x）=-f（x），
任取x＜0，则-x＞0，
f（-x）=log₂（1-x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（1-x）=-f（x），
又f（0）=0，故对于任意的x∈R，均有f（-x）=-f（x），
故函数f（x）在R上是奇函数；
（2）任取x₁，x₂属于实数，当x₁+x₂＞0时（不妨令x₁≥x₂），
有下列两种情形：
①若x₁＞0，x₂≥0，
则f（x₁）+f（x₂）=log₂（1+x₁）+log₂（1+x₂）＞2log₂1=0，
②若x₁≥0，x₂＜0，
则f（x₁）+f（x₂）=log₂（1+x₁）+${log}_{\frac{1}{2}}$（1-x₂）=log₂$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{2}}$，
∵x₁+x₂＞0，∴x₁＞-x₂，1+x₁＞1-x₂＞0，
∴log₂$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{2}}$＞log₂1=0，即f（x₁）+f（x₂）＞0；
（3）由（1），（2）得：
对任意两个实数x₁，x₂，当x₁＞-x₂时，f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂），
则对任意两个实数t₁，t₂，当t₁＞t₂时，f（t₁）＞f（t₂），
故函数f（x）为R上的单调递增函数，
f（e^2x-a）+f（3-2e^x）≥0即为f（e^2x-a）≥f（2e^x-3），
故e^2x-a≥2e^x-3，
∴问题等价于对于任意实数x，a≤e^2x-2e^x+3恒成立，
只需a≤（e^2x-2e^x+3）_min，
而e^2x-2e^x+3=（e^x-1）²+2∈[2，+∞），
故a≤2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．