Question

3．已知函数f（x）=|x-1|+|2x+1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）求函数g（x）=f（x）+|x-1|的最小值．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式，求得函数g（x）的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|+|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-\frac{1}{2}}\\{x+2，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{3x，x≥1}\end{array}\right.$，故不等式f（x）≥3，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-3x≥3}\end{array}\right.$ ①；或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{x+2≥3}\end{array}\right.$②；或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x≥3}\end{array}\right.$③．
解①求得 x≤-1；解②求得x∈∅；解③求得x≥1．
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-1，或 x≥1}．
（2）函数g（x）=f（x）+|x-1|=|2x-2|+|2x+1|≥|（2x-2）-（2x+1）|=3，
故函数g（x）的最小值为3，此时，-$\frac{1}{2}$≤x≤1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．