Question

12．已知函数f（x）=ax³+bx在x=2处取得极值为-16
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求得函数f（x）的导数，由题意可得f（2）=-16，且f′（2）=0，解a，b的方程组，即可得到a，b的值；
（2）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³+bx的导数为f′（x）=3ax²+b，
由于f（x） 在x=2处取得极值为-16
故有f（2）=-16，且f′（2）=0
即12a+b=0且8a+2b=-16，
解得a=1，b=-12；
（2）由（1）知  f（x）=x³-12x的导数为f′（x）=3x²-12，
令f′（x0=0，得x₁=-2，x₂=2，
当f′（x）＞0，即x＜-2或x＞2时，函数f（x）为增函数；
当f′（x）＜0，即-2＜x＜2时，函数f（x）为减函数．
则f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞），减区间为（-2，2）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．