Question

13．已知函数f（x）=ax-lnx-1．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围；
（2）求证：ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）问题转化为a≥${（\frac{1}{x}）}_{max}$，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出lnx＜x-1，根据1+$\frac{1}{n}$＞1，（n∈N^*）证明结论即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）由题意知f′（x）=a-$\frac{1}{x}$≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
所以a≥${（\frac{1}{x}）}_{max}$，又y=$\frac{1}{x}$在区间[1，+∞）上递减，所以${（\frac{1}{x}）}_{max}$=1，
即实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）取a=1，由（1）有f（x）在区间[1，+∞）上递增，
所以，当x＞1时，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x-1，
因为1+$\frac{1}{n}$＞1，（n∈N^*），
所以ln（1+$\frac{1}{n}$）＜1+$\frac{1}{n}$-1=$\frac{1}{n}$，
即ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．