Question

14．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a
（1）解关于x的不等式f（x）＞0
（2）若当x∈（2，3）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞0，即⇒（x-1）（x-a）＞0．分a＜1，a=1，a＞1讨论
（2）要使当x∈（2，3）时，f（x）＞0恒成立，由（2）得，只需（2，3）是不等式f（x）＞0的解集的子集即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞0，即x²-（a+1）x+a＞0，
⇒（x-1）（x-a）＞0
∴a＜1时 解集为{x|x＜a或x＞1}；
a=1时  解集为{x|x≠1}；
a＞1时  解集为{x|x＜1或x＞a}．
（2）要使当x∈（2，3）时，f（x）＞0恒成立，由（2）得，
①a＜1时，只需（2，3）⊆{x|x＜a或x＞1}，则a＜1符号题意，
②a=1时，符号题意
③a＞1时，只需（2，3）⊆{{x|x＜1或x＞a}．则1＜a≤2
综上a的取值范围为（-∞，2]

点评 本题考查了不等式的解法、不等式恒成立问题的处理方法，属于中档题．