Question

1．已知圆C的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．
（1）求圆C的方程；
（2）过圆内一点P（2，-3）的直线l与圆交于A、B两点，求弦长AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）过切点且与l：x+y-1=0垂直的直线为y=x-5，与y=-4x联立可求得圆心，再由两点间的距离公式求得半径r，即求得圆的方程．
（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小，即可得弦长AB的最小值．

解答 解：（1）过切点且与l：x+y-1=0垂直的直线为y=x-5，与y=-4x联立可求得圆心为C（1，-4），
∴r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8；
（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小
CP=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-4+3）^{2}}=\sqrt{2}$．
弦长AB的最小值为2$\sqrt{{r}^{2}-C{P}^{2}}=2\sqrt{6}$．

点评 本题考查了圆的方程，直线与圆的相交弦问题，属于中档题．