Question

15．已知直线l过定点P（-2，0），圆C的方程为：x²+y²-8y+12=0，
（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆C的圆心C（0，4），半径r=2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，直线l与圆相切；当直线l的斜率存在时，设直线方程为kx-y+2k=0，圆心C（0，4）到直线l的距离d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求出k，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设直线方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，由直线l与圆C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，得到圆心C（0，4）到直线l的距离d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，求出k，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）圆C的方程为：x²+y²-8y+12=0的圆心C（0，4），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{64-48}$=2，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，直线l与圆相切；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
圆心C（0，4）到直线l的距离d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{3}{4}$（x+2），即3x-4y+6=0．
综上：直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，直线l与圆相切，不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
∵直线l与圆C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，
∴CA⊥CB，∴AB=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴圆心C（0，4）到直线l的距离d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得k=1或k=7，
当k=1时，直线l的方程为y=x+2，即x-y+2=0，
当k=7时，直线l的方程为y=7（x+2），即7x-y+14=0．
∴直线l的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0．

点评 本题考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．