Question

10．在正项数列{a_n}中，已知点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）均在函数y=$\frac{2}{3}$x的图象上，且a₃a₄=$\frac{8}{27}$．
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=n•a_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）推导出${a}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_{n}$，从而{a_n}是以$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，利用等比数列通项公式求出a₁=$\frac{3}{2}$，由此能求出a_n．
（2）由b_n=n•a_n=$n•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵在正项数列{a_n}中，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）均在函数y=$\frac{2}{3}$x的图象上，
∴${a}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_{n}$，∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，
∵a₃a₄=$\frac{8}{27}$，∴${a}_{1}•（\frac{2}{3}）^{2}×{a}_{1}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，解得a₁=$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{3}{2}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$=（$\frac{2}{3}$）^n-2．
（2）∵b_n=n•a_n=$n•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=$1×（\frac{2}{3}）^{-1}+2×（\frac{2}{3}）^{0}+3×（\frac{2}{3}）+$…+n×（$\frac{2}{3}$）^n-2，①
$\frac{2}{3}$S_n=$1×（\frac{2}{3}）^{0}+2×（\frac{2}{3}）+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，②
①-②，得：
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$（\frac{2}{3}）^{-1}+（\frac{2}{3}）^{0}+（\frac{2}{3}）+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（$\frac{2}{3}$）^n-2-n×（$\frac{2}{3}$）^n-1
=$\frac{\frac{3}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-n×（$\frac{2}{3}$）^n-1
=$\frac{9}{2}$-（n+3）×（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴S_n=$\frac{27}{2}$-（3n+9）×（$\frac{2}{3}$）^n-1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．