Question

13．已知椭圆E的右焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，点M$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设P（-4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若∠APO=∠BPO，（其中O为坐标原点），
求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点，可得椭圆的焦点，由椭圆的定义，运用两点的距离公式可得2a=4，即a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，则k_PA+k_PB=0，设A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），运用直线的斜率公式，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理可得k的方程，解方程即可得到k的值．

解答 解：（Ⅰ）因为抛物线焦点为（1，0），所以椭圆的焦点坐标为F₂（1，0），F₁（-1，0），
又因为M（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
 所以2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，
即a=2，又因为c=1  所以b²=a²-c²=3，
所以椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，则k_PA+k_PB=0，
设A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），
∴$\frac{{k{x_1}+1}}{{{x_1}+4}}+\frac{{k{x_2}+1}}{{{x_2}+4}}={0^{\;}}即2k{x_1}{x_2}+（4k+1）（{x_1}+{x_2}）+8=0$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，消去y得到（3+4k²）x²+8kx-8=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}$，
∴$\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}+（4k+1）\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}+8=0$，
即-16k-32k²-8k+24+32k²=0，
∴k=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用定义法和基本量的关系，考查直线的斜率的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．