Question

5．已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a₃+a₅=2
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前n项和S_n及S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由等差数列{a_n}中，a₁=4，d=-1，a_n=5-n，求出S_n，利用配方法能求出n=4或n=5时，S_n取最大值10．

解答 （本题满分12分）
解：（1）设数列{a_n}公差为d，
∵等差数列{a_n}满足a₂=3，a₃+a₅=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{2{a}_{1}+6d=2}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a₁=4，d=-1，…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=4+（n-1）×（-1）=5-n．…（5分）
（2）∵等差数列{a_n}中，a₁=4，d=-1，a_n=5-n，
∴S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（4+5-n）}{2}$ …（7分）
=-$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{9}{2}n$=-$\frac{1}{2}（n-\frac{9}{2}）^{2}+\frac{81}{8}$ …（10分）
∵n∈N^*，
∴n=4或n=5时，S_n取最大值10．…（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．