Question

14．在△ABC中，D为BC边上一点，$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{DC}$，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）试用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{BD}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$及|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{BD}$，再用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$即可；
（2）根据平面向量的数量积和模长公式计算即可．

解答 解：（1）如图所示，

△ABC中，D为BC边上一点，$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{BC}$；
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{5}{6}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{a}$；
（2）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cos60°=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$•$\frac{5}{6}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{6}$${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{a}$=$\frac{5}{6}$×2²-$\frac{5}{6}$×1=$\frac{5}{2}$；
又${（3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-6$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=9×1-6×1+4=7，
∴|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，也考查了向量的线性表示问题，是中档题．