Question

9．已知函数f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），若对于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立，则t的取值范围为（-∞，10]．

Answer 1

分析 由一元二次不等式的解集，可得0，5为二次方程的两个根，代入可得b，c，函数解析式可得；
对于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立可等价转化为最值问题，即；2x²-10x+t-2≤0恒成立，再利用函数g（x）=2x²-10x+t-2，求它的最大值可得t的取值范围．

解答 解：∵f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x²+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x²+bx+c=0的两个根，
由韦达定理知，-$\frac{b}{2}$=5，$\frac{c}{2}$=0，∴b=-10，c=0，∴f（x）=2x²-10x．
f（x）+t≤2 恒成立等价于2x²-10x+t-2≤0恒成立，
∴2x²-10x+t-2的最大值小于或等于0．
设g（x）=2x²-10x+t-2≤0，
则由二次函数的图象可知g（x）=2x²-10x+t-2在区间[2，2.5]为减函数，在区间[2.5，4]为增函数．
∴g（x）_max=g（4）=-10+t≤0，∴t≤10．
故答案为（-∞，10]．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键． 属于中档题