Question

1．已知点A（4，0），抛物线C：y²=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P在C上，△PFA为正三角形，则p=$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的焦点，结合等边三角形的性质，运用中点坐标公式，求出P的坐标，代入抛物线的方程，解方程可得p的值．

解答 解：抛物线C：y²=2px（0＜p＜4）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
可得|AF|=4-$\frac{p}{2}$，
由△PFA为等边三角形，可得P（$\frac{1}{2}$（4+$\frac{p}{2}$），$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4+$\frac{p}{2}$）），
代入抛物线的方程，可得$\frac{3}{4}$（4+$\frac{p}{2}$）²=2p•$\frac{1}{2}$（4+$\frac{p}{2}$），
化为5p²+112p-192=0，
解得p=$\frac{8}{5}$或-24（舍去），
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了抛物线的方程的应用，等边三角形的性质，考查运算能力，比较基础．