Question

17．定义在R上的奇函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若正实数a使得不等式f（a²e^a-a²）+f（ba³）＜0恒成立，则b的取值范围是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [-e，+∞）
• C． [-1，e]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根据题意，当实数x₁、x₂，满足x₁＜x₂时有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定义在R上的减函数．正实数a使得不等式f（a²e^a-a²）+f（ba³）＜0恒成立?正实数a使得不等式a²e^a-a²+ba³＞0恒成立．⇒e^a-1+ba＞0，令g（a）=e^a+ba-1，（a＞0），利用导数求解即可．

解答 解：∵任意给定的不等实数x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
∴任意实数x₁、x₂，满足x₁＜x₂时有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定义在R上的减函数．
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
则正实数a使得不等式f（a²e^a-a²）+f（ba³）＜0恒成立?正实数a使得不等式a²e^a-a²+ba³＞0恒成立．
⇒e^a-1+ba＞0，令g（a）=e^a+ba-1，（a＞0），则g′（a）=e^a+b
∵a＞0，∴e^a＞1，且g（0）=0
①当b≥-1时，g′（a）=e^a+b＞0恒成立，∴g（a）在（0，+∞）递增，∴g（a）＞g（0）=0，符合题意；
②当b＜-1时，令g′（a）=e^a+b=0，a=ln（-b）＞0，
故有a∈（0，ln（-b））时，g（a）递减，而，g（0）=0，故存在a∈（0，ln（-b）），使g（a）＜0，故不符合题意．
综上，b的取值范围是[-1，+∞）
故选：A

点评 本题给出抽象函数，在已知函数的单调性和奇偶性的情况下解关于x的不等式，着重考查了函数的基本性质和抽象不等式的解法等知识，属于中档题．