Question

20．已知$cos（{α+\frac{2π}{3}}）=\frac{4}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，则$sin（{α+\frac{π}{3}}）+sinα$=$-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 利用两角和的余弦函数公式整理已知等式，然后再利用两角和的正弦函数公式计算得答案．

解答 解：∵$cos（{α+\frac{2π}{3}}）=\frac{4}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，
∴$cosαcos\frac{2π}{3}-sinαsin\frac{2π}{3}=\frac{4}{5}$，即$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=-\frac{4}{5}$，
∴$sin（{α+\frac{π}{3}}）+sinα$=$sinαcos\frac{π}{3}+cosαsin\frac{π}{3}+sinα$
=$\frac{1}{2}sinα+\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+sinα$=$\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）=-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．
故答案为：$-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是基础题．