Question

1．正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长2为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为$\sqrt{5}$的等腰三角形．
（1）求正四棱锥V-ABCD的体积．
（2）求二面角V-BC-A的平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结VO，求出正四棱锥V-ABCD的高VO=$\sqrt{3}$，由此能求出正四棱锥V-ABCD的体积．
（2）取BC中点E，连结OE，VE，则OE⊥BC，VE⊥BC，∠VEO是二面角V-BC-A的平面角，由此能求出二面角V-BC-A的平面角的大小．

解答 解：（1）连结AC，BD，交于点O，连结VO，
∵正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长2为的正方形，
其他四个侧面都是侧棱长为$\sqrt{5}$的等腰三角形，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，VO=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，
∴正四棱锥V-ABCD的高VO=$\sqrt{3}$，
∴正四棱锥V-ABCD的体积：
V_V-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×VO$=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）取BC中点E，连结OE，VE，
则OE⊥BC，VE⊥BC，∴∠VEO是二面角V-BC-A的平面角，
∵VO=$\sqrt{3}$OE=1，
∴tan$∠VEO=\frac{VO}{VE}$=$\sqrt{3}$，∴∠VEO=60°．
∴二面角V-BC-A的平面角的大小为60°．

点评 本题考查正四棱锥的体积的求法，考查二面角的平面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．