Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，D为AB的中点，设AC₁、A₁C交于O点．
（1）证明：BC₁∥平面A₁DC；
（2）证明：AC₁⊥平面A₁CB．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC₁∥平面A₁DC．
（2）利用向量法推导出AC₁⊥CA₁，AC₁⊥CB，由此能证明AC₁⊥平面A₁CB．

解答 证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴CC₁⊥平面ABC，AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
则A（$\sqrt{2}，0，0$），B（0，$\sqrt{2}$，0），C₁（0，0，$\sqrt{2}$），A₁（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），C（0，0，0），
D（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
设平面A₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∵$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=0+$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=0，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．
（2）$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{2}$，0），
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}$=-2+0+2=0，$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴AC₁⊥CA₁，AC₁⊥CB，
∵CA₁∩CB=C，∴AC₁⊥平面A₁CB．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．