Question

7．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b是实数），g（x）=2x²-4x-16
（1）求不等式g（x）＜0的解集？
（2）若|f（x）|≤|g（x）|对任意的实数都成立，求a，b？
（3）在（2）的条件下，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围？

Answer 1

分析 （1）不等式g（x）＜0?2x²-4x-16＜0⇒-2＜x＜4；
（2）|f（x）|≤|g（x）|对任意的实数都成立，?|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|对任意的实数都成立，即x=4，x=-2时成立，代入解得a，b；
（3）对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，⇒x²-4x+7≥m（x-1）对一切x＞2，均成立，⇒m≤$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}，（x＞2）$利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）不等式g（x）＜0?2x²-4x-16＜0
⇒x²-2x-8＜0⇒（x-4）（x+2）＜0，
⇒-2＜x＜4，
∴不等式g（x）＜0的解集为：（-2，4）．
（2）|f（x）|≤|g（x）|对任意的实数都成立，
?|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|对任意的实数都成立，
∴x=4，x=-2时成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4a+b=0}\\{4-2a+b=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
（3）对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
⇒x²-4x+7≥m（x-1）对一切x＞2，均成立，
⇒m≤$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}，（x＞2）$，
∵$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}=（x-1）+\frac{4}{x-1}-2≥4-2=2$（当且仅当x=3时，取等号），
∴m≤2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题的处理方法，考查了转化思想，属于中档题．