Question

17．已知定义在（-1，1）上的函数$f（x）=\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$为奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）为奇函数，便有f（0）=0，这便得到b=0，再根据f$（\frac{1}{2}）$=$\frac{2}{5}$即可求出a=1，从而得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）}$，容易判断f′（x）＞0，从而知道f（x）在（-1，1）上单调递增，而将原不等式变成f（t-1）＜f（-t），这便得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜-t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$，解该不等式组即得原不等式的解．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，且在x=0有定义；
∴f（0）=b=0；
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，即$\frac{{\frac{1}{2}a}}{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+1}}=\frac{2}{5}$；
解得a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{{{（{{x^2}+1}）}^2}}}$；
∵x∈（-1，1），0≤x²＜1，1-x²＞0；
∴f'（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上单调递增；
由f（t-1）+f（t）＜0，得f（t-1）＜-f（t）=f（-t）；
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜-t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}}\right.$；
解得$0＜t＜\frac{1}{2}$；
∴原不等式解集为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 考查奇函数在原点有定义时，f（0）=0，根据导数符号判断函数单调性的方法，商的求导公式，以及奇函数的定义的运用．