Question

9．在△ABC中，AB=3，AC=2，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，则直线AD通过△ABC的（　　）

• A． 垂心
• B． 外心
• C． 内心
• D． 重心

Answer 1

分析 计算出|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$|=|$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{3}{2}$，又因为$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，设$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心．

解答 解：∵AB=3，AC=2
∴|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{3}{2}$，|$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{3}{2}$．
即|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$|=|$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{3}{2}$
设$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
则|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{AF}$|，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$．
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．
∴AD为菱形的对角线，
∴AD平分∠EAF．
∴直线AD通过△ABC的内心．
故选：C．

点评 本题考查三角形内心的判断，根据向量长度，结合向量加法的平行四边形法则及其几何意义是解决本题的关键．