Question

20．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C₁的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t为参数）
（Ⅰ）将C₁的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）P为C₁上一动点，求P到直线C₂的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=x²+y²、ρcosθ=x、ρsinθ=y，将曲线C₁的方程：ρ=2cosθ+2sinθ化为直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线C₂的参数方程消去t化为直角坐标方程，利用点到直线的距离求出圆心C₁（1，1）到直线C₂的距离d，判断出直线与圆的位置关系，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）因为曲线C₁的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，则ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
所以C₁的直角坐标方程是x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）因为直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t为参数）
所以直线C₂的直角坐标方程为x+y+2=0，
因为圆心C₁（1，1）到直线C₂的距离d=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$$＞\sqrt{2}$，
则直线与圆相离，
所以求P到直线C₂的距离的最大值是3$\sqrt{2}$，最小值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，属于中档题．