Question

13．已知命题p：关于x的方程a²x²-ax-2=0在x∈[-1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0．
（1）若“p且q”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出p，q为真时的a的范围，如果“p且q”为真命题，“p，q”也为真命题，则“p或q”为假命题．，“p，q”都假，即可求解．

解答 解：对于命题p：由a²x²-ax-2=0在[-1，1]上有解，
当a=0时，不符合题意；
当a≠0时，方程可化为：（ax-2）（ax+1）=0，
解得：x=$\frac{2}{a}$，或x=-$\frac{1}{a}$，
∵x∈[-1，1]，
∴-1≤$\frac{2}{a}$≤1或-1≤-$\frac{1}{a}$≤1，
解得：a≥2或a≤-2
对于命题q：由只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0
得抛物线y=x²+2ax+2a与x轴只有一个交点，
∴△=4a²-8a=0
∴a=0或a=2
（1）若“p且q”是真命题，则a=2，
（2）若“p或q”是假命题，则-2＜a＜2且a≠0．

点评 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q都假，本题属于基础题．