Question

4．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁a₂…a_n=2${\;}^{{b}_{n}-n}$，若{a_n}为等比数列，且a₁=1，b₂=b₁+2．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$-$\frac{2}{n（n+1）}$（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 此题考察数列的求和公式和数列的递推关系．（1）从递推关系式入手，求出b1，b2，q的值，进而求出数列an，bn．
（2）观察数列形式，一个可以用等比数列求和，一个可以用分解相消的方法求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q
n=1时a₁=2^b₁-1，a₁=1，∴b₁=1，b₂=3
n=2时，a₁a₂=2^b₂-2，∴a₂=2
∴q=2
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1
（2）a₁a₂a₃…a_n=a₁ⁿq^{（1+2+…+n-1）}=${q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$
∴b_n-n=$\frac{n（n-1）}{2}$
∴b_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$
（2）s_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1-2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$_）
=2-2（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{2n}{n+1}$
=$\frac{2n}{n+1}$-2（$\frac{1}{2}$）ⁿ+2

点评 此题考察对递推关系的分析和裂项法的应用，也是常规方法的考察，学生应熟悉常见裂项的常见题型