Question

19．函数f（x）=e^x+x²+ax+1，若f（x）≥e^x在x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得x²+ax+1≥0在[1，2]恒成立，即有-a≤x+$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，求得右边函数的最小值即可得到a的范围．

解答 解：f（x）≥e^x在x∈[1，2]恒成立，即为
x²+ax+1≥0在[1，2]恒成立，
即有-a≤x+$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
由于x+$\frac{1}{x}$在[1，2]递增，即有x=1处取得最小值2．
则-a≤2，解得a≥-2．
则实数a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．