Question

7．当x＞-1时，求f（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可设y=f（x），这样便可得到x²-（3+y）x+1-y=0，将该式看成关于x的一元二次方程，方程有解，从而有$\left\{\begin{array}{l}{△={y}^{2}+10y+5≥0}\\{\frac{3+y}{2}＞-1}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出原函数的值域．

解答 解：设y=f（x），y=$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x+1}$；
∴yx+y=x²-3x+1；
整理成：x²-（3+y）x+1-y=0，看成关于x的一元二次方程，方程在（-1，+∞）上有解；
设g（x）=x²-（3+y）x+1-y；
∵g（-1）=5＞0；
∴要满足上面方程在（-1，+∞）上有解，首先判别式△≥0，再满足g（x）的对称轴在x=-1的右边；
∴y需满足：$\left\{\begin{array}{l}{△={y}^{2}+10y+5≥0}\\{\frac{3+y}{2}＞-1}\end{array}\right.$；
解得$y≥-5+2\sqrt{5}$；
∴原函数的值域为$[-5+2\sqrt{5}，+∞）$．

点评 考查函数值域的概念，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法：整理成关于x的方程，由方程有解求其值域，要熟悉二次函数的图象．