Question

16．求下列函数的最值与值域：
（1）y=4-$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$；
（2）y=2x-$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=x+$\frac{4}{x}$；
（4）y=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$．

Answer 1

分析 （1），（2），（4）是复合函数，需要先找出基本函数：二次函数和指数函数的值域，再复合，进而求出原函数的值域．（3）利用公式法可直接求解．

解答 解：（1）令t=3+2x-x²
=-（x²-2x）+3
=-（x-1）²+4
∴t≤4
∴0≤$\sqrt{t}$≤2
∴2≤y≤4
故函数最小值为2，最大值为4，值域为[2，4]．
（2）∵1-2x≥0
∴x$≤\frac{1}{2}$
y=2x-$\sqrt{1-2x}$
=-（$\sqrt{1-2x}$-2x）
=-（$\sqrt{1-2x}$+1-2x）+1
令t=$\sqrt{1-2x}$，t≥0
∴y=-（t²+t）+1
=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$
当t≥0时，函数单调递减．
∴y≤1，
故函数最大值为1，值域为（-∞，1]．
（3）函数定义域为（-∞，0）∪（0，∞）
当x＞0时
y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4
当x＜0时
y=x+$\frac{4}{x}$
=-（-x-$\frac{4}{x}$）
≤-4
故函数的值域为[4，∞）∪（-∞，-4]，无最值．
（4）y=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$
令t=3x，t＞0
y=$\frac{t}{t+1}$
=$\frac{t+1-1}{t+1}$
=1-$\frac{1}{t+1}$
∵t＞0
∴0＜$\frac{1}{t+1}$＜1
∴0＜y＜1
故函数的值域为（0，1），无最值．

点评 复合函数的求法问题，我们可以利用换元的方法，把复合问题化为简单问题，进而求解．