Question

12．函数f（x）=x³+x，x∈R，当-$\frac{π}{2}$＜θ≤0时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用函数f（x）=x³+x是奇函数又是R上的增函数，把不等式转化求解．

解答 解：∵函数f（x）=x³+x是奇函数又是R上的增函数，
∴f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，
等价于f（mcosθ）＞-f（1-m）
即f（mcosθ）＞f（m-1），
即mcosθ＞m-1即有m＜$\frac{1}{1-cosθ}$，
又-$\frac{π}{2}$＜θ≤0时，0＜cosθ≤1，0≤1-cosθ＜1，
∴m≤1．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查学生对函数的奇偶性、单调性的综合运用以及三角函数的单调性的运用能力，属中档题．