Question

【题目】已知a＞0，且a≠1．命题P：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上为增函数；命题Q：函数g（x）＝x2﹣2ax+4有零点．

（1）若命题P，Q满足P真Q假，求实数a的取值范围；

（2）命题S：函数y＝f（g（x））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；

（2）（1，）．

【解析】

（1）根据命题P，Q满足P真Q假，计算得到答案.

（2）首先保证g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a＜1和1＜a＜2两种情况，分别计算得到答案.

（1）由命题P：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上为增函数是真，得a＞1；

由命题Q：函数g（x）＝x2﹣2ax+4有零点为假，得△＝4a2﹣16＜0，得﹣2＜a＜2．

∴使命题P真Q假的实数a的取值范围是（1，2）；

（2）若函数y＝f（g（x））在区间[2，+∞）上值恒为正数，

则首先保证g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上恒大于0，

则△＝4a2﹣16＜0或，

得﹣2＜a＜2．又a＞0且a≠1，∴0＜a＜2且a≠1．

当0＜a＜1时，外层函数f（x）单调递减，而内层函数g（x）当x→+∞时，g（x）→+∞，

此时y＝f（g（x））＜0，不合题意；

当1＜a＜2时，外层函数f（x）单调递增，要使y＝f（g（x））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，

则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．

即g（2）＝8﹣4a＞1，得a．

∴1＜a．

即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，）．