Question

已知函数f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

（1）求f(

π

4

)的值；
（2）写出函数函数在(

π

2

，π)上的单调区间和值域．

Answer 1

分析：（1）化简所给函数的解析式是解题的第一步，如

1-sinx 1+sinx

=

(1-sinx)(1+sinx) (1+sinx)(1+sinx)

，目的是去掉根号，简化式子，
（2）最终化成y=Asin（wx+h）+b的形式，利用三角函数的性质解决问题．

解答：解：f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx)2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

c3

c1

（4分）
（1）当x∈(0，

π

2

)时，f（x）=2-sinx-cosx，故f(

π

4

)=2-

2

．（6分）
（2）当x∈(

π

2

，π)时，|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，
故f(x)=cosx•

1-sinx

-cosx

+sinx•

1-cosx

sinx

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，（8分）
当x∈(

π

2

，π)时x-

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
故当x∈[

π

2

，

3π

4

]是，函数f（x）单调递增，
当x∈[

3π

4

，π]时，函数f（x）单调递减；函数的值域是(1，

2

]．（12分）

点评：本题目中去掉根号的方法是常用的技巧，必须要掌握，另外对于形如y=Asin（wx+h）+b的形式三角函数的图象与性质要熟悉，
这是解决此类问题的关键所在．