Question

已知函数f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

m

=(1， sinA)与向量

n

=(2，sinB)共线，求a，b．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的二倍角公式化简f（x），根据三角函数的有界性求出最小值，根据三角函数的周期公式求出f（x）周期．
（2）利用f（C）=0求出角C，利用余弦定理得到边a，b，c的关系；利用向量共线的充要条件得到三角函数的等量关系，利用正弦定理得到边a，b，c的另一个等式，解方程组求出a，b的长．

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1当2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=kπ-

π

6

，k∈Z时，f(x)取得最小值-2
f（x）的最小正周期为π
（2）由c=

3

，f（C）=0，得C=

π

3

，a2+b2-ab=3
由向量

m

=(1， sinA)与向量

n

=(2，sinB)共线，
得sinB=2sinA，
∴b=2a
解方程组

a2+b2-ab=3 b=2a

得a=1，b=2

点评：解决三角函数的性质问题，一般先利用三角函数的公式化简三角函数为y=Asin（ωx+φ）+k形式，然后再求函数的性质；解决三角形有关的问题，一般利用正弦定理、余弦定理进行解决．