Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足$4{cos^2}\frac{C}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$，$a+b=5，c=\sqrt{7}$．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子，求出cosC的值，根据内角的范围求出角C；
（2）由题意和余弦定理列出方程，利用整体代换求出ab的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由 $4{cos^2}\frac{C}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$得，$2{cos^2}C-2cosC+\frac{1}{2}=0$…3′
解得，$cosC=\frac{1}{2}$…4′
又0＜C＜π，则$C=\frac{π}{3}$…5′
（2）∵$a+b=5，c=\sqrt{7}$，
∴由余弦定理得7=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab…7′
又∵a+b=5，∴ab=6…9′
∴△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…10′

点评 本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及二倍角余弦公式的变形，属于中档题．